Явление предельной формы, интегрируемые системы и теория представлений

Проблема исследования больших систем является одной из центральных в теоретической и математической физике, и
на протяжении долгого времени остается одной из основных задач статистической механики. В последние
десятилетия эта тема стала ещё более актуальной в связи с задачей обработки больших данных, развитием квантовой
информации, прикладных задач комбинаторики и других областей.
Основной целью проекта является развитие новых методов математической физики в применении к явлению
предельных форм - детерминистических структур в системах, состоящих из большого числа случайных элементов.
Используемые в работе методы основаны на синтезе традиционных подходов к этой проблеме и на методах
современной теории интегрируемых систем. Такой подход требует не только применения, но и развития методов
интегрируемых систем, как квантовых, так и классических. Обозначенная цель проекта будет достигаться решением
конкретных задач, которые можно объединить в три категории.

1. Предельные формы в моделях статистической механики.

   
   а) Описание геометрии и свойств предельных форм в двумерных моделях статистической механики. Одним из
   наиболее значимых открытий в этом направлении было полное описание предельных форм для димерных моделей в
   областях с критическими граничными условиями (А. Окуньков и соавторы). Мы планируем сделать следующий шаг и
   развить новую методологию с использованием Гамильтоновых методов интегрируемых моделей. Направление
   основано на недавнем цикле работ Н. Решетихина и соавторов, где было показано, что соответствующие уравнения
   Эйлера-Лагранжа имеют бесконечное количество интегралов. Предельные формы и корреляционные функции будут
   изучены для обобщенных граничных условий типа доменной стенки. Новая методология будет развита на основе
   метода касательных.
   б) Много лет остается открытым вопрос о предельных формах систем без функции высоты. Ответ хорошо известен для
   модели Изинга - это капли Добрушина-Котецкого-Шлосмана. Их открытие было наиболее ярким и значимым
   достижением в исследовании модели Изинга после открытия Онзагером ее точного решения. Одной из задач проекта
   является изучение формирования таких капель в более общих моделях (таких, как некритические модели димеров,
   шестивершинная модель в антисегнетоэлектрической фазе и т.д.) в некритических фазах. Решение этой задачи требует
   создания новых методов вычисления энергии поверхностного натяжения и вычисления более тонких асимптотик
   статистических сумм и корреляционных функций.
   в) Для исследования предельных форм больших систем будут разработаны и применены численные методы,
   основанные на методе Монте-Карло и его модификациях, таких как метод отжига популяций. Будет имплементирована
   параллельная версия этих алгоритмов на видеокартах. Эти новые методы будут применены для исследования тонких
   асимптотических явлений и скейлинга в предельными формах, а также корреляционных функций.

2. Асимптотическая теория представлений и комбинаторика

   
   а) Будут найдены и исследованы предельные распределения неразложимых компонент в тензорных произведениях
   конечномерных представлений супералгебр Ли и квантовых групп в корнях из единицы в пределе, когда количество
   сомножителей стремится к бесконечности. Для супералгебр Ли эта задача изучалась в очень специальном случае,
   мы планируем полное решение задачи. Для решения этой задачи в случае квантовых групп в интересных корнях из
   единицы необходим очень тонкий анализ разложения этих представлений на наклонные модули. Для других алгебр Ли
   эта задача по-прежнему открыта. В обоих случаях она имеет важные приложения и распространяется далеко за
   пределы существующих результатов.
   б) Аналогичные асимптотические задачи для представлений аффинных алгебр Каца-Муди являются совершенно
   новыми. Несколько имеющихся в литературе результатов не дают содержательного описания асимптотики даже для
   частных случаев. Вычисление этих асимптотик является еще одной задачей проекта. Например, в случае sl(n) такого
   рода асимптотика непосредственно связана с квантовой теорией информации. Ожидается, что асимптотика в
   аффинном случае может найти столь же важные приложения.
   в) Асимптотические задачи комбинаторики, в частности, статистика больших разбиений и их обобщений будут изучены
   в контексте асимптотик моментов случайных больших распределений. Одним из важных вопросов, связанных с этой
   задачей, является асимптотика спектра спиновой модели Калоджеро-Мозера и соответствующих матриц плотности.

3. Классические и квантовые интегрируемые и суперинтегрируемые системы.

   
   а) Планируется изучить связь между классическими суперинтегрируемыми системами и задачами криптографии, а
   также использовать эти результаты как для построения новых крипто-алгоритмов, так и и для нахождения новых
   суперинтегрируемых систем.
   б) Будут построены бесконечномерные аналоги суперинтегрируемых систем на пространствах модулей, связанных с
   простыми конечномерными группами Ли, на группах петель и соответствующих группах Каца-Муди. Также будут
   построены квантовые аналоги этих систем. Это совершенно новый подход, основанный на недавних работах
   руководителя проекта.
   в) Будет изучен предел систем типа Калоджеро-Мозера и их обобщений в случае, когда ранг алгебры Ли стремится к
   бесконечности. Решение этой задачи актуально для перечисленных выше проблем асимптотической теории
   представлений и комбинаторики. В частности, очень мало известно о таких асимптотиках для систем корней B, C и D.

Проект поддержан Российским Научным Фондом, грант 21-11-00141